V roku 1979 sa s bratmi v jednej útočnej formácii výraznou mierou podieľal na zisku jediného federálneho ligového titulu Slovana Bratislava. Legendárny útok bratov Šťastných nastrieľal v nezabudnuteľnej sezóne 1978/1979 rekordných 109 gólov. Do historických štatistík NHL sa spolu s bratom Petrom zapísal v drese Quebecu Nordiques. V zápase proti Washingtonu Capitals 22. februára 1981, v ktorom Quebec zvíťazil 11:7, dosiahli obaja bratia osem kanadských bodov. Center Peter dal štyri góly a na štyri prihral a krídelník Anton trikrát skóroval a päťkrát asistoval.

Kariéru Antona Šťastného zdobí nielen striebro z majstrovstiev Európy hráčov do 18 rokov (1977), či strieborná medaila zo svetového šampionátu hráčov do 20 rokov z roku 1979, ale aj striebro z moskovských majstrovstiev sveta z toho istého roku. Anton Šťastný sa narodil 5. augusta 1959 v Bratislave. Podobne ako jeho bratia hokejovo vyrastal v bratislavskom Slovane. Belasý dres si prvýkrát obliekol už ako 16-ročný v roku 1975. Natrvalo sa v kádri Slovana ako útočník usadil v rokoch 1977-1980.

V sezóne 1978/1979 sa výraznou mierom zaslúžil o historický triumf "belasých" v najvyššej hokejovej súťaži v bývalom Československu. Slovan Bratislava pod vedením trénera Ladislava Horského vyhral totiž federálny ligový titul, ktorý v poslednom zápase korunoval domácim víťazstvom 6:2 nad vtedajšou Teslou Pardubice. Najmladší z bratského útočného tria strelil v tejto víťaznej sezóne 32 gólov. Po mladom talentovanom útočníkovi samozrejme poškuľovali aj skauti zo zámoria. V roku 1978 ho draftoval Detroit Red Wings v poslednom amatérskom drafte v 12. kole zo 198. miesta. O rok neskôr vo vstupnom drafte ho Quebec Nordiques draftoval v 4. kole z 83. miesta. Politické dôvody prevládajúce v Československu mu však neumožnili legálne vycestovať a hrať v najprestížnejšej hokejovej súťaži.

Za veľkú mláku do NHL sa dostal za oveľa dramatickejších okolností. Po turnaji o Pohár európskych majstrov v auguste roku 1980, na ktorom sa zúčastnil aj Slovan, sa z Rakúska do Bratislavy nevrátil. Spolu s bratom Petrom emigrovali do Kanady. Svojim útekom výrazne skomplikovali život bratovi Mariánovi, z ktorého sa zo dňa na deň stala nežiaduca osobnosť, prenasledovaná Štátnou bezpečnosťou (ŠtB).

Začiatkom roka 1981 bola situácia Mariána Šťastného a jeho rodiny natoľko neznesiteľná, že sa rozhodol emigrovať aj on. Po strastiplnom úteku cez Rakúsko a bývalú Juhosláviu sa v kanadskom Quebecu s bratmi stretol 6. júna 1981. Spolu s nimi sa úspešne etabloval v tíme NHL Quebec Nordiques, v ktorom vytvorili podobne ako v Slovane nezastaviteľné ofenzívne trio. Najmladší z hviezdneho tria bratov Šťastných odohral v NHL v drese Quebecu Nordiques v rokoch 1980-1989 650 zápasov, v ktorých strelil 252 gólov a zaznamenal 384 asistencií. Po skončení úspešného účinkovania v NHL odišiel Anton Šťastný do Švajčiarska, kde jednu sezónu v 1989/1990 strávil vo Fribourgu-Gottéron a nasledujúci ročník v tíme EHC Olten.

V drese československej reprezentácie dal 25 gólov. V roku 1979 získal na MS v Moskve striebro, pričom na šampionáte v šiestich zápasoch strelil päť gólov a raz asistoval. Československo reprezentoval aj na zimných olympijských hrách (ZOH) v roku 1980 v Lake Placid, kde počas hokejového turnaja odohral šesť zápasov, v ktorých nazbieral osem bodov za štyri góly a rovnaký počet prihrávok.

Pred blížiacimi ZOH v Lillehammeri v roku 1994 ho brat Peter presvedčil, aby sa pod dvoch rokoch vrátil opäť k hokeju. Za Slovensko odohral Anton Šťastný celkovo 15 zápasov, v ktorých strelil osem gólov. Na olympiádu sa pre disciplinárny trest nedostal a tak definitívne ukončil bohatú hokejovú kariéru. V rokoch 2004-2006 pôsobil ako člen vedenia švajčiarskeho klubu HC Lausanne.