Saros je súčasť organizácie Predators od roku 2013, keď ho Nashville draftoval z 99. miesta. V NHL debutoval v ročníku 2015/2016 a postupne sa vypracoval do pozície brankárskej jednotky tímu. V základnej časti 2020/2021 nastúpil do 36 zápasov, v ktorých vychytal tri čisté kontá, dosiahol priemer 2,28 inkasovaného gólu na zápas a 92,7-percentnú úspešnosť zásahov.

Vo vyraďovacej časti, v ktorej Predators vypadli 1. kole s Carolinou, mal v 4 stretnutiach 92,1-percentnú úspešnosť zásahov a priemer 2,78 inkasovaného gólu. V NHL doteraz nastúpil do 172 zápasov.