Jozef Baláž je rodákom i odchovancom Liptovského Mikuláša. Od roku 2013 však nepretržito pôsobí v Česku, kde prešiel mládežníckymi kategóriámi HC Vítkovice. V sezóne 2017/18 dostal prvýkrát šancu v českej extralige.

Počas kariéry obliekal dresy Poruby a Havířova v druhej najvyššej súťaži. 21-ročný útočník v roku 2017 reprezentoval SR 18 na MS. O dva roky neskôr za zúčastnil šampionátu v Kanade vo výbere SR 20.