Martin Réway sa narodil a hokejovo vyrastal v Prahe na Slávii. V dvanástich sa presťahoval na Oravu a jeho kariéra pokračovala v Dolnom Kubíne, kde už ako štrnásťročný nastúpil na zápas dorasteneckej ligy. Hneď v prvej sezóne dal o sebe vedieť, ako nováčik zaznamenal v 13 zápasoch 20 bodov a zaskvel sa najmä v tej nasledujúcej, po 25 zápasoch mal na konte 70 bodov. To samozrejme neostalo bez povšimnutia a z Dolného Kubína sa sťahoval do Martina. Za miestny MHC odohral 20 zápasov v extralige dorastu (13+22) a 10 zápasov za juniorku (5+5). Záujem o jeho služby prejavila Sparta Praha a Martin bez váhania odišiel za lepšími podmienkami k našim severným susedom. V extralige staršieho dorastu opäť bodovo nezaostával, v základnej časti nastúpil na 25 duelov so ziskom 60 bodov a v play off pridal ďalších 24 bodov v 9 zápasoch. Začalo sa hovoriť o jeho pôsobení v A tíme Sparty Praha, no Martin uprednostnil juniorské súťaže za morom, v Import drafte si ho vybral tím Gatineau Olympiques z kanadskej QMJHL. V jeho prvej sezóne 2012-13 sa zaskvel 50 bodmi v základnej časti, 12 pridal v play off. Minulé leto bol úspešne draftovaný do NHL tímom Montreal Canadiens zo 116. miesta. Už ako líder tímu nastupoval do uplynulej sezóny, jeho 41 bodov v 25 zápasoch QMJHL zaujalo aj trénera Vůjtka natoľko, že Martin sa prebojoval až do záverečnej nominácie na majstrovstvá sveta v Minsku.

V posledných dňoch sa internetom šírili rôzne dohady o ďalšom pokračovaní jeho kariéry, no dnes na svojej oficiálnej facebookovej stránke oznámil, že jeho ďalším pôsobiskom bude jemu dobre známa Sparta Praha.